% Beispiel 5.2
% name lastname (11907086)
% 08. Juni 2021

Ein vereinfachtes Verfahren für den Entwurf von FIR-Filtern ist die Fenstermethode, bei der ein idealisiertes Filter mit der unendlich langen Impulsantwort $h_d[n]$ durch ein Filter mit endlich langer Impulsantwort

$$
h[n] 
\begin{cases}
h_d[n] & 0 \leq n \leq N-1 \\
0 & sonst
\end{cases}
$$ {#eq:h}

approximiert wird. Dabei weicht die Übertragungsfunktion $H(e^{j \theta})$ des realisierten Filters von der Übertragungsfunktion $H_d(e^{j \theta})$ des idealisierten Filters ab. Diese Abweichung sei durch das Fehlermaß

$$
\epsilon^2 = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} |H(e^{j \theta}) - H_d(e^{j \theta})|^2 d \theta
$$ {#eq:epsilon-squared}

erfasst.

# (a)

Der spektrale Fehler $E(e^{j \theta}) = H(e^{j \theta}) - H_d(e^{j \theta})$ kann als Fouriertransformation eines zeitlichen Fehlers $e[n]$ dargestellt werden:

$$
E(e^{j \theta}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e[n] e^{-j \theta n}
$$ {#eq:E-fourier}

Ermitteln Sie $e[n]$ dieser Fourierdarstellung in Abhängigkeit von $h[n]$ und $h_d[n]$.

##### Lösung

Wir kennen bereits die Beziehung:

$$
E(e^{j \theta}) = H(e^{j \theta}) - H_d(e^{j \theta})
$$ {#eq:E-sum}

Aufgrund der Linearität der Fouriertransformation können wir nun schließen:

$$
\begin{aligned}
e[n] &= \mathcal{F}^{-1}\{E(e^{j \theta})\} \\
&= \mathcal{F}^{-1}\{H(e^{j \theta}) - H_d(e^{j \theta})\} \\
&= \mathcal{F}^{-1}\{H(e^{j \theta})\} - \mathcal{F}^{-1}\{H_d(e^{j \theta})\}
\end{aligned}
$$ {#eq:E-inverse-transformation}

Somit ergibt sich durch Gl. [@eq:E-inverse-transformation]:

$$
e[n] = h[n] - h_d[n]
$$ {#eq:e}

# (b)

Drücken Sie das Fehlermaß $\epsilon^2$ als Funktion von $e[n]$ aus.

##### Lösung

In Gl. [@eq:epsilon-squared] handelt es sich um einen Ausdruck der bereits fast wie eine Signalleistung aussieht. Wir können uns die Parsevalsche Beziehung zu Nutze machen um eine Funktion in Abhängigkeit von $e[n]$ zu erlangen:

$$
\begin{aligned}
\epsilon^2 &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} |H(e^{j \theta}) - H_d(e^{j \theta})|^2 d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} |E(e^{j \theta})|^2 d \theta
\end{aligned}
$$ {#eq:epsilon-conversion}

Wobei die Parsevalsche Beziehung lautet:

$$
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} |X(e^{j \theta})|^2 d \theta
$$ {#eq:parseval}

Durch die $2 \pi$-Periodizität des Spektrums kann o.B.d.A. die Parsevalsche Beziehung (Gl. [@eq:parseval]) auf unser Fehlermaß (Gl. [@eq:epsilon-conversion]) angewandt werden, und wir erhalten:

$$
\epsilon^2 = \sum_{n = -\infty}^{\infty} |e[n]|^2
$$ {#eq:epsilon-e}

# (c)

Zeigen Sie, dass das Fehlermaß $\epsilon^2$ dann minimal ist, wenn $h[n]$ entsprechend der oben angegebenen Beziehung die zeitbegrenzte Impulsantwort des idealisierten Filters ist.

##### Lösung

Wir setzen allgemein an:

$$
h[n] =
\begin{cases}
a_n & 0 \leq n \leq N-1 \\
0 & sonst
\end{cases}
$$ {#eq:concept}

Mithilfe dieses Ansatzes können wir dann unser Ergebnis aus (b) (Gl. [@eq:epsilon-e]) zu Nutze machen:

$$
\begin{aligned}
\epsilon^2 &= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |e[n]|^2 \\
&= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |a_n - h_d[n]|^2
\end{aligned}
$$

Um nun zu zeigen, dass das Fehlermaß minimal ist, können wir dieses partiell nach $a_n$ ableiten:

$$
\frac{\partial \epsilon^2}{\partial a_n} = \left ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n - h_d[n]|^2 \right ) \frac{1}{\partial a_n} = 0
$$ {#eq:epsilon-partial-derivative}

Durch Anwendung diverser Rechenregeln können wir dieses Ergebnis zurückführen auf die gewünschte Beziehung:

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \epsilon^2}{\partial a_n} &= \left ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n - h_d[n]|^2 \right ) \frac{1}{\partial a_n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} 2 |a_n - h_d[n]| \left ( sgn(a_n - h_d[n]) \left ( \overbrace{\frac{\partial a_n}{\partial a_n}}^{1} - \overbrace{\frac{\partial h_d[n]}{\partial a_n}}^{0} \right ) \right ) \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n - h_d[n]|\ sgn(a_n - h_d[n]) \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n - h_d[n] = 0
\end{aligned}
$$ {#eq:epsilon-partial-derivative-conversion}

Somit kommen wir auf das erwünschte Ergebnis:

$$
\frac{\partial \epsilon^2}{\partial a_n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n - h_d[n] = 0
$$ {#eq:epsilon-minimality}
